准则(1)

“夹逼准则” 又叫作 “迫敛准则” 或 “汉堡准则” 。

$有{x_n}、{y_n}、{z_n},且y_n\leq x_n\leq z_n$
若 $\underset{n\rightarrow\infty}\lim y_n=A,\underset{n\rightarrow\infty}\lim z_n=A$ ，则 $\underset{n\rightarrow\infty}\lim x_n=A$ 。

对于函数同理。

第一重要极限

$$
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}x=1
$$

若 $x>0$ ，有 $\sin x<x<\tan x$ 。

准则(2)

单调有界数列必有极限

第二重要极限

$$
\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac1n)}^n = e \ ,\ \lim_{x\rightarrow\infty}{(1+\frac1x)}^x = e
$$
本质上其实是： $$\lim_{x\rightarrow m}(1+f(x))^{\frac1{f(x)}}=e$$
其中， $f(x)$ 需是无穷小量， 指数 $\frac1{f(x)}$ 是其倒数。例如： $$\lim_{x\rightarrow0}{(1+x)}^{\frac1x}=e$$

准则(3)

柯西极限存在准则

$$
{x_n} 收敛 \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists N>0,m>N,n>N,|x_m-x_n|<\varepsilon
$$