无穷小（量）

如果函数极限为 0 ，即 $\underset{x\rightarrow ?}\lim f(x)=0$ ， $f(x)$ 为当 $x\rightarrow ?$ 时的无穷小。

如果数列极限为 0 ，即 $\underset{x\rightarrow\infty}\lim x_n=0$ ， ${x_n}$ 为当 $n\rightarrow\infty$ 时的无穷小。

无穷小指的是无限趋近于 0 或等于 0 的数。

0 是无穷小， 0 是唯一一个可以作为无穷小的常数。

当 $x\rightarrow x_0$ 时，有定理： $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Longleftrightarrow f(x)=A+\alpha$$

无穷大（量）

例： $\underset{x\rightarrow0}\lim\frac1x=\infty$ ， $\underset{x\rightarrow0^+}\lim\frac1x=+\infty$ ， $\underset{x\rightarrow0^-}\lim\frac1x=-\infty$

无穷大分为 $+\infty$ 和 $-\infty$

所言的无穷大，实际是属于极限不存在的范畴。

定理：如果 $f(x)$ 是无穷大量，则 $\frac1{f(x)}$ 是无穷小；如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x)\neq0$ ，则 $\frac1{f(x)}$ 是无穷大。

一些”运算”

无穷大

1. 待商议
   1. $\infty + \infty$
   2. $\infty – \infty$
   3. $\frac{\infty}{\infty}$
   4. $+\infty-(+\infty)$
   5. $\frac{+\infty}{+\infty}$
   6. $-\infty-(-\infty)$
   7. $\frac{-\infty}{-\infty}$
   1. $\infty\cdot\infty=\infty$
   2. $+\infty+(+\infty)=+\infty$
   3. $+\infty\cdot(+\infty)=+\infty$
   4. $-\infty+(-\infty)=-\infty$
   5. $-\infty\cdot(-\infty)=+\infty$

无穷小

假设 $\alpha,\beta$ 均为无穷小

1. 待商议
   1. $\frac{\alpha}{\beta}$
   1. $\alpha+\beta=无穷小$
   2. $\alpha-\beta=无穷小$
   3. $\alpha\cdot\beta=无穷小$