邻域

• 邻域： $U(x_0)$
• 去心邻域： $\mathring{U}(x_0)$
• $\delta$ 邻域： $\delta>0,\quad (x_0-\delta,x_0+\delta),U(x_0,\delta)$
• 去心 $\delta$ 邻域： $(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta),\mathring{U}(x_0,\delta)$

函数极限

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义， $\exists$ 常数 $A$ ($f(x)$ 的极限$f(x_0)$)， $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<|x-x_0|<\delta,都有:|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则称：$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$$

$\forall \varepsilon>0,\quad \exists\delta>0,\ 使得:0<|x-x_0|<\delta,\ 有:0<|y-y_0|<\varepsilon$

1. 左极限： $$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A,\ 记作: f(x_0^-)=A$$ $\forall \varepsilon,\ \exists\delta>0,\ 使得:x_0-\delta<x<x_0,\ 有:|f(x)-A|<\varepsilon$
2. 左极限： $$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A,\ 记作: f(x_0^+)=A$$ $\forall \varepsilon,\ \exists\delta>0,\ 使得:x_0<x<x_0+\delta,\ 有:|f(x)-A|<\varepsilon$
3. $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Longleftrightarrow 左右极限都存在且等于A$$

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x)=A$

设 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数时有定义， $\exists A$ （极限值）， $\forall\varepsilon>0,\ \exists X>0,\ |x|>X时(x>X,x<-X),\ |f(x)-A|<\varepsilon$