19.

设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，且 $f'(0)=f'(1),|f”(x)|\leq1$ ，证明：

（1）当 $x\in(0,1)$ 时， $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|\leq\frac{x(1-x)}2$

（2） $\left|\int_0^1f(x) \mathrm{d}x – \frac{f(0)+f(1)}2\right|\leq\frac1{12}$

证明

（1）：

1. 定义 $f(x)$ 的线性插值函数： $$l(x)=f(1)x+f(0)(1-x)$$
2. 则误差函数为： $$e(x)=f(x)-l(x)$$
3. 则需证明的不等式可表示为： $$|e(x)|\leq\frac{x(1-x)}2$$
4. 因为 $x\in(0,1)$ ，故存在 $\xi\in(0,1)$ 使得： $$e(x)=\frac{f”(\xi)}{2}\cdot x(x-1)$$
5. $$|e(x)|=\frac{|f”(\xi)|}2\cdot x(1-x)$$
6. 又 $|f”(x)|\leq1$ ，故： $$|e(x)|\leq\frac{x(1-x)}2$$
7. 自此，不等式得证

（2）：

1. 由（1）可知： $$f(x)=l(x)+e(x)$$
2. 故有： $$\int_0^1f(x)\ \mathrm{d}x=\int_0^1l(x)\ \mathrm{d}x+\int_0^1e(x)\ \mathrm{d}x$$
3. $$\int_0^1l(x)\ \mathrm{d}x=\int_0^1[f(0)+(f(1)-f(0))x]\ \mathrm{d}x=\frac{f(1)+f(0)}2$$
4. 则不等式左项可化为： $$\left|\int_0^1e(x)\ \mathrm{d}x\right|$$
5. 又： $$\left|\int_0^1e(x)\ \mathrm{d}x\right|\leq \int_0^1|e(x)|\ \mathrm{d}x$$
6. 由（1）可知： $$|e(x)|\leq\frac{x(1-x)}2$$
7. 故： $$\left|\int_0^1e(x)\ \mathrm{d}x\right|\leq \int_0^1\frac{x(1-x)}2\ \mathrm{d}x$$
8. 计算可得： $$\left|\int_0^1e(x)\ \mathrm{d}x\right|\leq \frac1{12}$$
9. 综上，不等式得证