唯一性：

${ x_n}$ 收敛，则极限是唯一的

有界性

有界： $\exists M>0$ ，对于 $\forall x_n$ ， $|x_n|\leq M$

无界： 有界反之

若 ${ x_n }$ 收敛，则 ${ x_n }$ 一定有界。若 ${x_n}$ 有界，其不一定收敛。

若 ${ x_n }$ 无界，则 ${ x_n }$ 一定发散。若 ${x_n}$ 发散，其不一定无界。

保号性

$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_n=a,\quad a>0$ ， $\exists N$ 正整数， $n>N,x_n>0$ 。

推论： ${x_n}$ 从某项起， $x_n\geq0$ ，且 $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=a$ ，则 $a>0$ ，反之亦然。

子数列

子数列是从原数列中抽取“无数多项”，按照原数列先后顺序排列。

1. ${x_n}$ 收敛于 $a$ ，则任一子数列也收敛，且极限是 $a$
2. ${x_n}$ 的某一子数列是发散的，则 ${x_n}$ 是发散的
3. ${x_n}$ 有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列是发散的
4. 一个发散的数列也可以有收敛的子数列
5. $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=a \Longleftrightarrow \underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_{2n}=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_{2n+1}=a$