映射

映射的定义

[!NOTE] 映射
两个非空集合 $X$ 与 $Y$ 间存在着一个对应关系或者说对应法则 $f$ ，使得 $X$ 中的每一个元素 $x$ 与 $Y$ 中的唯一的、确定的元素 $y$ 对应 。称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射 。

$y$ ： $x$ 的像
$x$ ： $y$ 的原像

映射的定义域： $X$ ，通常用 $D_f$ 表示
映射的值域： $x$ 的像构成的集合，通常用 $R_f$ 表示， $R_f \subset Y$

就定义而言：

• $X\rightarrow Y$
  • 一对一 ✔
  • 多对一 ✔
  • 一对多 ✖
    $X$ 不能剩余
    $Y$ 可以剩余

映射的分类

1. 单射： $X$ 中任意两元素的像都不同， $x_1\neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2)$
2. 满射： $Y$ 中的所有元素都是像， $R_f=Y$
3. 双射（一一映射）：既是单射，也是满射

逆映射

假设 $f:X \longrightarrow Y \quad 是单射$ ，对于 $\forall y \in R_f$ 都有唯一的 $x\in X$ 与之对应，此时有对应法则 $g:R_f\longrightarrow X$ ，记作 $f^{-1}:D_{f^{-1}}\longrightarrow Y_{f^{-1}}$ ，其中 $D_{f^{-1}}=R_f,Y_{f^{-1}}=X$

复合映射

由 $g:X_g \rightarrow Y,\quad f:X_f \rightarrow Z$ ，则 $f \circ g:X_g \rightarrow Z$ ，其中 $R_g\subset X_f,\quad (f \circ g)(x)=f[g(x)]$

函数

定义

[!NOTE] 函数
定义： 数集 $D\subset R$ ， $f:D\rightarrow R$ 即为定义在 $D$ 上的函数，记作： $y=f(x),x\in D$

某个角度来说，函数可以看作是“特殊的映射”，是定义域在实数集的映射 。

$x:自变量$ ， $y:因变量$ ， $D:定义域$ ， $R_f={ y | y=f(x),x\in D}$

（1）函数三要素： $D_f$ ， $R_f$ ， $f$
（2） $x$ 的像 $y$ 是唯一的， $y$ 的原像不一定是唯一的， $R_f$ 是 $Y$ 的子集， $R_f \subset Y$

自然定义域

[!NOTE] 自然定义域
自然定义域是指使得算式有意义的所有实数组成的集合 。

如：$y = \frac{1}{x-1}$ 的自然定义域为 $x \neq 1$ ， $y=\sqrt{1-x}$ 的自然定义域为 $x\leq1$

表示法

表格、图像、解析式等

符号函数

[!NOTE] 符号函数
数学上的 $Sgn$ 函数从数值中提取出符号信息，判断一个数是正数、负数还是零 。当输入值大于零时返回一，输入值小于零时返回负，输入值等于零时返回零 。

$x=sgn x \cdot |x|$

取整函数

[!NOTE] 取整函数
取整函数 $y=\left[ x \right]$ 也称高斯函数。不超过实数 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记作 $\left[ x \right]$

如 $\left[ 1.2 \right]=1$ ， $\left[ -1.2 \right]=-2$ 等

狄利克雷函数

[!NOTE] 狄利克雷函数
狄利克雷函数是定义在实数集 $R$ 上的有理数集合 $Q$ 的特征函数，通过记为 $D(x)$ 。

函数特性

有界性

[!NOTE] 有界性
函数的有界性是描述在定义域内，函数的取值范围是否有限 。

$f(x)$ 在 $X$ 上有定义，即 $X \subset D$ ， $X$ 是定义域的子集 。
有上界： $\forall x \in X$ ，若 $\exists K_1$ ，使得 $f(x)\leq K_1$ ； $\Longleftrightarrow$ 函数在 $X$ 上有上界
有下界： $\forall x \in X$ ，若 $\exists K_2$ ，使得 $f(x)\geq K_2$ ； $\Longleftrightarrow$ 函数在 $X$ 上有下界

例如： $y=\frac{1}{x}+3 ,\quad x\in[1,+\infty)$ ，则 $y \in (3,4]$ ，其中 $3$ 即为函数其中一个下界， $4$ 即为函数的其中一个上界 。

有界指的是既有上界又有下界 。
有界： $\forall x \in X$ ，若 $\exists 正数K$ ，使得 $|f(x)|\leq K$ ； $\Longleftrightarrow$ 函数在 $X$ 上有界

单调性

设 $f(x)$ 在 $X$ 上有定义，即 $X\subset D$ ， $\forall x_1,x_2 \in X$ ，不妨令 $x_1<x_2$

1. 单调递增
   • 总有 $f(x_1)<f(x_2)$ $\Longrightarrow f(x)$ 在 $X$ 上严格单调递增
   • 总有 $f(x_1)\leq f(x_2)$ $\Longrightarrow f(x)$ 在 $X$ 上非严格单调递增
2. 单调递减
   • 总有 $f(x_1)>f(x_2)$ $\Longrightarrow f(x)$ 在 $X$ 上严格单调递减
   • 总有 $f(x_1)\geq f(x_2)$ $\Longrightarrow f(x)$ 在 $X$ 上非严格单调递减

非专门指出，一般所言的 “单调递增、单调递减” 均为 “非严格”类型 。

奇偶性

有奇偶性的前提： $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称， $\forall x \in D$

1. 若 $f(x)=f(-x) \Longleftrightarrow f(x)偶函数$ ，关于 $y$ 轴对称
2. 若 $f(x)=-f(-x) \Longleftrightarrow f(x)奇函数$ ，关于原点对称

若一个奇函数在 $x=0$ 处有定义，则 $f(0)=0$

周期性

$f(x)$ 定义域为 $D$ ， $\exists L>0$ ， $\forall x \in D$ 都有 $f(x)=f(x+L)\Longrightarrow f(x)是周期函数，L是它的周期$

通常所说的周期默认指的是最小正周期 。

对于狄利克雷函数，任何正的有理数皆为它的周期，它没有最小正周期 。

狄利克雷函数

反函数

$f:D\rightarrow f(D) 单射$ ， $f^{-1}:f(D)\rightarrow D$ ， $\forall y\in f(D)$ 有唯一的 $x\in D$ 使得 $f(x)=y,f^{-1}(y)=x$

其中 $y=f(x)$ 叫作 “直接函数”， $y=f^{-1}(x)$ 是它的反函数 。

复合函数

$y=f[g(x)]$ 或 $y=f(u),u=g(x)$ ， 其中 $u=g(x)$ 为中间变量 。

$y=f(u)$ 定义域为 $D_f$ ， $u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$

$g$ 的值域 $R_g$ 包含于 $f$ 的定义域 $D_f$ ， $R_g \subset D_f$

函数的运算

$f(x),g(x),D_f,D_g$ 要求 $D_f\cap D_g \neq \phi$

$(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D$

$(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$

$(\frac fg )(x)\frac{f(x)}{g(x)},g(x)\neq0$